Fraktaler: Från romaner till romanesco

Från moln till Mozart, från kustlinjer till livets slut, återfinns fraktaler. Helena Granström funderar över verklighetens och konstens struktur.

Lyssna på alla avsnitt i Sveriges Radios app.

ESSÄ: Detta är en text där skribenten reflekterar över ett ämne eller ett verk. Åsikter som uttrycks är skribentens egna.

När en matematiker försöker sig på att skämta kan det låta såhär:

Vad står bokstaven B för i Benoit B Mandelbrot? Rätt svar: Benoit B Mandelbrot.

Huruvida denna vits någonsin åstadkommer några skrattsalvor ska jag låta vara osagt, men den som förstår poängen har i alla fall också förstått vad som kännetecknar fraktalerna, de matematiska objekt som utforskades ingående av just denne Mandelbrot: att de innehåller delen som är helheten som innehåller delen som är helheten, och så vidare.

Därav skämtets poäng: Namnet Benoit B Mandelbrot inneslutet i namnet Benoit B Mandelbrot inneslutet i namnet Benoit B Mandelbrot i all oändlighet.

Man kan tänka på ett blomkålshuvud, eller ännu hellre på en romanesco: Bryt loss en bukett, och du kommer i denna bukett att få se det stora huvudet i mindre format. Bryt loss en mindre bukett av denna bukett, och så ännu en mindre från denna: Samma sak upprepar sig, med allt mindre kålhuvuden som fortsätter att spira från allt mindre kålhuvuden.

En ovanligt hänförande fraktal kallad Mandelbrotmängden upptäcktes av Mandelbrot själv, och karakteriseras av att en förhållandevis enkel formel ger upphov till en närmast outtömlig komplexitet: ett outgrundligt överflödande universum alstrat av en simpel instruktion. Inför denna rikedom är det svårt att hålla fast vid tanken på att matematiken bara skulle vara något som människan har hittat på: ”Mandelbrotmängden är”, som matematikern Roger Penrose påpekat, ”inte något som det mänskliga sinnet har uppfunnit; den upptäcktes.” Precis på samma sätt som Mount Everest, finns den bara där.

Men fraktalerna existerar alltså inte enbart i den rena matematikens sfär, utan i högsta grad i verkligheten: Vi kan finna dem i kustlinjer och floddeltan, ormbunkar och åskviggar, blodkärl och neuroner, galaxkluster och bergskedjor och moln. I var och en av dessa strukturer ser man helheten upprepa sig i de mindre delarna: Den som betraktar en del av en bergig kust kan inte utifrån dess form avgöra om det är en liten sträcka som de ser på nära håll, eller en längre på stort avstånd; och varje liten del av ett moln skulle, betraktad för sig själv, lika gärna kunna vara det stora molnet självt. Till och med vår arvsmassa är arrangerad enligt denna struktur, inpassad i den trånga cellkärnan genom identiska vikningar som sker i mindre och mindre skala.

Naturen är, med andra ord, i högsta grad fraktal – och år 2016 kom ett antal polska kärnfysiker lite oväntat också fram till slutsatsen att detsamma gäller litteraturen.

Det är en häpnadsväckande upptäckt, även om den kanske är lite mindre fruktbar än vad en författare skulle önska – för hur gärna jag än vill skulle jag inte kunna låta varje stycke i denna essä utgöra en miniatyr av helheten – och varje mening en miniatyr av varje stycke – och varje ord en miniatyr av varje mening. Även om det hade varit outsägligt elegant.

Den amerikanska författaren Paul Auster har visserligen gjort gällande att den första meningen i hans roman Mr Vertigo innehåller essensen av hela verket – men den fraktala strukturen i kända verk av författare som Virginia Woolf och Robert Bolano låter sig avtäckas först genom ingående statistisk analys. De litteraturintresserade polska fysikerna genomförde till exempel en kartläggning av fördelningen av meningarnas längd i de romaner de studerade: Vad som framträdde var en form av idealt fraktalmönster, särskilt skönjbart i den typ av litteratur som brukar betecknas som medvetandeström. Mest fraktal av alla – till och med multifraktal, det vill säga innehållande fraktaler av fraktaler – lär James Joyces svårgenomträngliga Finnegan’s Wake vara.

När det gäller lyrik har en ambitiös forskare med en besläktad metod lyckats med konststycket att finna Cantormängden, en annan känd fraktal, i form av förekomsten av ordet know i en dikt av den amerikanske poeten Wallace Stevens. Och även i musiken är det möjligt att finna fraktala strukturer – föga förvånande till exempel hos en kompositör som Johann Sebastian Bach, i vars tredje cellosvit en musicerande matematiker lyckats identifiera ett påfallande exakt exempel på samma Cantormängd.

Bevisar det att konstnärerna, tidigare än matematikerna, har förmått att uppfatta tillvarons inre struktur? Att dessa skapande människor på ett omedvetet vis har anat formen hos de kärl som fyller människokroppens lungvävnad, hos de kärl i vilka dess blod flödar och hos det nätverk av nervceller som överhuvudtaget gör aningar – omedvetna eller inte – möjliga. Kanske är det denna djupt liggande intuition som Mandelbrot själv också anspelar på när han konstaterar att barn inte undrar ”över temperaturen hos en gas eller kollisioner mellan atomer, utan över formerna hos träd, moln och blixtar.” Undrar de, för att de i dessa former identifierar något märkvärdigt bekant, något som lånar sin form också åt deras eget inre?

Men å andra sidan skulle författarnas benägenhet att skriva fram fraktaler kunna ges en mer prosaisk förklaring än så, för också det mänskliga livets yttre ramar låter oss ju stifta bekantskap med det fraktala: Dygnet kan förstås som en miniatyr av året som i sin tur kan framstå som en miniatyr av det mänskliga livsförloppet. Men inte bara det: Möjligen, skriver matematikern Michael Frame i den märkliga lilla skriften The Geometry of Grief, kan även sorgen sägas uppvisa en självlikhet på olika skalor, eftersom varje sorg i sin tur består av många små delsorger, varje förlust av en mängd olika möjligheter eller tillfällen eller erfarenheter som för alltid gått förlorade. Inuti sorgen över en älskad människas bortgång, oövervinnerlig i sin väldighet, finns sorgen över att aldrig mer få hålla hennes hand, över att aldrig mer få höra hennes röst, över att aldrig mer få vända sig till henne med sina tankar. Och det faktum att de många små sorgerna liknar den stora sorgen i art om än inte i storlek gör det möjligt, fortsätter Frame sitt resonemang, att öva sig: Att lära sig ett sätt att tackla den väldiga, till synes ohanterliga sorgen, genom att prövande och försiktigt ta sig an de mindre sorgerna, en i sänder.

Och betraktat med den fraktala geometrins blick framstår på sätt och vis hela livet så, som en repetition i liten skala för de stora skeenden som hela tiden – och samtidigt, bara långsammare – utspelar sig: varje glädje en liten replik av den större glädjen, varje misslyckande och varje närmande och varje känslosvall en replik av sina större motsvarigheter av vilka de också utgör en del. Och förstås – detta är väl den fraktala livsstrukturens dystraste sida – utgör var och en av tillvarons otaliga förluster en sorts miniatyr av den slutliga förlust som väntar oss alla, den av livet självt.

Hur man ska gaska upp sig efter en sådan nedslående insikt är inte helt klart – men kanske kan åtminstone matematikerna ibland oss finna lättnad i ännu ett exempel på humor för de få:

–Hur gick det för matematikern som blev gammal och sjuk, dog han?

–Nejdå. Han förlorade bara några av sina funktioner.

Helena Granström
författare med bakgrund inom fysik och matematik