Att inte förstå matematik kan leda till livslång frustration

Matematiken har gäckat många elever genom historien. En anledning är att skillnaden mellan att begripa och inte begripa är så definitiv. Helena Granström reflekterar över denna avgrund.

Lyssna på alla avsnitt i Sveriges Radios app.

ESSÄ: Detta är en text där skribenten reflekterar över ett ämne eller ett verk. Åsikter som uttrycks är skribentens egna.

Under de år som jag ägnade mig åt att studera matematik, minns jag att det som tilltalade mig mest var ämnets – ja, jag tror att det bästa ordet kan vara renhet. Det fanns formler och procedurer, algoritmer och smarta knep, men kärnan bestod inte i något av dessa. Istället fanns den gömd, innesluten i bevisen för dessa formlers giltighet: bevis som ofta inte krävde mycket mer än bekantskap med några grundläggande definitioner: Det, och en förmåga att ta steget från det ena till det andra med den rena tankens hjälp.

Det kändes som tänkande i ordets egentliga mening, till sin natur helt olikt allt annat som fyller ens medvetande under en dag – eller, snarare var det som allt annat tänkande nedgnagt till benet, så att bara skelettet av tankens logik fanns kvar. Men när man inte förstår – vilket förr eller senare kommer att vara fallet för de flesta av oss – kan samma förhållande te sig djupt provocerande. Den hänförande känslan när det ena leder till det andra leder till det tredje med logikens hela ofrånkomlighet ersätts med en minst lika stark känsla av förtvivlad vanmakt när denna kedja av slutsatser förblir bruten, så att det ena leder till det andra som inte tycks leda till någonting alls.

Alec Wilkinson är en hyllad skribent och författare, uppenbart mångbegåvad och intelligent, men med en tydlig svaghet, nämligen matematiken. Som skolpojke klarade han med nöd och näppe av kurserna i grundläggande algebra, geometri och analys – och sedan dess har han hållit sig undan. Men så, som fyllda 65, bestämmer han sig: Han ska, med den mogne mannens samlade livserfarenhet, ta sig an skolmatematiken på nytt. Det som gäckade honom då kommer, föreställer han sig, säkerligen denna gång att framstå alldeles klart.

Så blir det emellertid inte. Wilkinson finner sig snart, ännu en gång, i fullt krig med ekvationer, derivator och funktioner. Rasande försöker han beslå matematiken med felslut och motsägelser, besegra den på dess hemmaplan genom att triumferande hitta sprickor i dess fortverk av ren logik – men gagnlöst. Inför matematiken förblir han, all sin erfarenhet till trots, en skolpojke som inte förstår.

Ett första faktum, skriver den franske matematikern Henri Poincaré, bör förvåna oss, eller snarare skulle det förvåna oss om vi inte vore så vana vid det. Hur kommer det sig att det finns människor som inte förstår matematik? Frågan pekar mot en av de mest fascinerande – och mest frustrerande – aspekterna av att ägna sig åt matematik, nämligen den matematiska insiktens plötslighet. Övergången mellan att inte förstå och att förstå kan ibland vara sekundsnabb, och när gränsen en gång överträtts är det oåterkalleligt: insiktens aha-upplevelse kommer en gång, och endast en. De yrkesmatematiker som haft lyckan att få erfara lösningens plötsligt blixtrande klarhet efter många års arbete med ett svårt problem vittnar om hur det skett i ett enda kort ögonblick – men också om hur de sedan ägnat resten av sitt liv åt strävan efter att få uppleva ett sådant ögonblick på nytt. Det är också denna skarpa gräns mellan förståelsen och dess frånvaro som gör att undervisning i matematik sätter lärarens inlevelsekraft på prov: Har man en gång förstått något, är det ofta nästan svårt att begripa hur man inte kunde förstå – och för den som likt Poincaré förstått, ofta svårt att finna förklaringen någonting annat än fullständigt klar, även när någon annan finner den ogenomtränglig.

Förståelsen framstår i matematikens sammanhang – och kanske alltid – som en närmast mystisk kraft: den infinner sig eller infinner sig inte, kan lika gärna slå en till marken när den drabbar med sin fulla styrka, som att lämna en tom och suktande genom att utebli. Det är inte olikt den kreativa ingivelsen – och den matematiska processen är också i många avseenden besläktad med den konstnärliga. På samma sätt som hos en konstnär som arbetar med ett verk tar den matematiska problemlösningen omedvetna skikt av människan i anspråk, och gissningar och aningar kan spela en avgörande roll för att kunna göra framsteg. Den beskrivning som Charles Darwin en gång gav av matematikern som ”en blind man i ett mörkt rum som letar efter en svart katt som inte är där” bör varje författare lätt kunna känna igen sig i. Förmågan att misslyckas om och om igen utan att ge upp är för övrigt en som brukar framhållas av yrkesmatematikerna själva som deras främsta tillgång.

Men det finns också avgörande skillnader, som Wilkinson konstaterar i sina försök att bättre lära känna det ämne som in i pensionsåldern fortsätter att gäcka honom. Ett konstnärligt verk kan i och för sig tyckas härbärgera sin egen inre logik, en tvingande riktning som kan göra det ena greppet rätt och det andra fel i en närmast absolut mening; men det är ett rätt och fel som aldrig helt kommer att kunna frigöras från betraktaren, och om en konstnär skulle misslyckas med att finna det rätta för sitt verk kommer det helt enkelt att förbli ofunnet. I matematiken är det annorlunda: Här väntar det rätta svaret, alltid bara ett enda, på sin upptäckt, och skulle en person misslyckas med att finna det, kommer en annan snart stå redo att försöka. Om konstens kreativa process försätter den skapande i direktkontakt med hans eller hennes omedvetna, kan man tänka sig att det matematiska skapandet fungerar som om flera personer hade tillgång till samma omedvetna värld, en sorts kollektivt omedvetet i närapå jungiansk mening. Matematikens uppgift, menade logikern och matematikern Kurt Gödel, är att ”ta reda på vad vi, kanske omedvetet, har skapat”. De satser vi bevisar och kallar för våra skapelser är, skriver kollegan G. H. Hardy i boken A mathematicians apology, egentligen inget annat än ”anteckningar om våra observationer”.

Skapande och upptäckt kan, också för den skrivande, målande eller musicerande, tyckas svåra att skilja från varandra, saker kan stiga ur ens inre som man varken kan överblicka eller fullt ut förstå. Men i matematiken är de oupplösligt sammanbundna: Det inre landskapet av abstrakta symboler är på samma gång ett yttre, beläget någonstans utanför rum och tid, i vilket vi kan ströva tillsammans och bekanta oss med omgivningarna, okända och egenartade. Som Wilkinson formulerar det: Matematiken är som ett fängslande middagssällskap som man pratar med hela kvällen, ända till dess att man reser sig från bordet och inser att allt det spännande som sades kom från en själv.

Eller, vill man tillägga, omvänt: Som att sitta och prata med sig själv, och plötsligt märka att jaget mitt emot reser sig och går.

Går vart? Kanske någonstans i riktning mot den vilda, orumsliga talterräng där primtalen ligger och blänker, otaliga och svårbestämda, skapade av vår tanke och helt och hållet oberoende av den. Det enda som kan försätta oss i samtal med dem är vårt tänkande – och de små glimtar av förståelse som det, om vi har verklig tur, kan leda till.

Helena Granström, författare med bakgrund inom fysik och matematik